1  研究問題與數學模型描述

van der Pol-Duffing振子爲

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（1）

　　調整van der Pol-Duffing方程中各個參數,可得到豐富的動力學性質^[5]。

　　van der Pol-Duffing方程(1)寫成狀態方程爲

　　初始條件爲x(0)=a₀, =b₀。這裏t是時間變數,μ爲阻尼係數,b爲激勵力幅值,ω爲激勵頻率,α,β,分別爲線性項、非線性項係數。
　　研究問題有：
　　(1)研究van der Pol-Duffing方程中參數μ, α, β對系統輸出的影響；
　　(2)研究van der Pol-Duffing方程中強迫力f(t)=bcosωt對系統輸出的影響；
　　(3)研究van der Pol-Duffing方程中初始條件x(0)=a₀, =b₀對系統輸出的影響；
　　(4)討論運動x(t)及速度的規律和周期性以及穩定性、混沌動力特性,幾何顯示周期吸引子、不變環面吸引子和混沌吸引子、極限環等；
　　(5)觀察功率譜圖、相平面軌迹圖、Poincaré映射圖、位移變化動態類比圖、相平面軌迹動態圖和質量塊振動類比圖,等等。
　　(6)研究van der Pol(β=0時)方程的上述問題。

2 圖形用戶介面設計

圖1 圖形用戶介面(β=4.361)

　　在模型資料登錄部分,我們設計了(1) 五個參數μ、α, β, b和ω均可獨立地設定,可以方便地觀察和分析參數變化對系統的綜合影響。(2) 特別是對時間獨立引數t的處理,設計成可以任意取定所關心的時間段[star,end],圖形座標的數值範圍隨時間段[star,end]變化而變化。通過對時間段[star,end]的大範圍或小範圍的選取,可以觀察van der Pol-Duffing振子大範圍和小範圍的輸出規律,提高圖形的輸出精度和仿真效果。(3) 可以任意給定相對誤差容許度RelTol和絕對誤差容許度AbsTol,便於調整電腦仿真圖形更加吻合物理實驗得到的圖形,比較精確地仿真van der Pol-Duffing振子的輸出結果,滿足科研和工程的需要。（4）設計了初始條件的輸入視窗Initial Value,以便研究初始條件對系統的重大影響。在資訊輸出方面,（5）在控制臺左側,建立了三個坐標軸物件,上方圖軸用於觀察系統的功率譜圖。下方左圖軸反映x(t)和 的相位平面軌迹圖,下方右圖軸反映周期運動、概周期運動和混沌運動的Poincaré映射圖。在第二個圖形用戶介面,同時也建立了三個坐標軸物件,上方圖軸用於觀察、比較和預測系統輸出與質量塊振動的類比規律,即時程曲線和質量塊振動動態類比曲線,下方左圖軸反映相平面軌迹動態圖,下方右圖軸動態顯示質量塊類比振動。其中通過滑鼠點擊按鈕faster和slower,可以加快或減慢或暫停物體類比振動,加快或減慢或暫停相平面軌迹變化,直觀考察相平面軌迹環繞極限環以及混沌狀態下相平面軌迹自相交等現象。
　　通過這個GUI圖形用戶介面,能夠實現我們所研究的各種問題。圖形用戶介面(GUI)如圖1所示。

3 視覺化圖形用戶介面主要功能與特點

3.1 建立精確化的視覺化模型
　　van der Pol-Duffing振子在參數不同組合下表現爲多種多樣的周期運動、概周期運動和混沌運動,因此,需要很好地解決模型精度問題。否則,由於系統本身運動就呈現混沌現象,在計算誤差參與下系統輸出可能更加“混沌”,從而導致分析結論錯誤。影響系統精度的因素有：計算前的演算法選擇、計算過程的絕對誤差和相對誤差容許度以及計算後的圖形輸出格式與精度。
　　我們選用了計算剛性Stiff系統的ode23s命令^[6]。
　　象我們做任何物理實驗一樣,在做實驗前,必須調整、校驗實驗儀器。否則,實驗結果不能保證準確。在計算過程中,相對誤差容許度和絕對誤差容許度對電腦仿真,特別是對系統混沌特徵的影響也很大。在圖形用戶介面,我們設置了兩個可編輯文本框——相對誤差容許度RelTol和絕對誤差容許度AbsTol, 用於調整和控制數值計算過程的誤差。通過誤差的控制,使得圖形用戶介面模型更能滿足各方面的需要。見圖1。
　　在系統輸出方面,圖軸輸出格式對圖形輸出具有強烈的影響。我們通過程式自動設定圖軸,如axis[],使其隨計算結果而變動,解決了輸出資訊丟失和資訊失真等問題。
3.2 可以任意組合參數和初始條件
　　許多文獻都是利用程式調入來仿真非線性振動系統,通過約定幾組參數μ、α、β、b和ω的數值來進行視覺化分析。若觀察其他參數取值情況,只能修改程式本身中的參數值,給多次利用該程式帶來許多不便。通過我們建立的圖形用戶介面,可以任意組合參數和初始條件,無需對程式進行任何改動。
3.3考察極限環和相軌迹相互交叉等動態變化
　　通過觀察相軌迹動態圖,我們可以非常形象地瞭解系統存在的各種特性,如穩定性與漸進穩定性、周期性與概周期性、極限環與吸引子等力學特性。見圖1 。
3.4 模型具有多種輸出,滿足視覺化研究的需要
　　通過本文視覺化模型,可以一次性輸出兩個圖形視窗(Figure視窗),共含有六個圖軸——功率譜圖、相平面軌迹圖、Poincaré映射圖、位移變化動態類比圖、相軌迹動態圖和質量塊振動類比圖。對這兩個圖形視窗,可以最大化、最小化或移動,可以滑鼠點擊使其成爲當前視窗。
　　通過按鈕faster、slower,我們可以同時加快或減慢或暫停質量塊振動和位移變化動態類比、相軌迹動態變化。位移變化動態類比圖粗線或點的稀疏、密集完全即時對應質量塊振動的慢快節奏。見圖1。
　　特別是質量塊振動類比和位移變化動態類比以及相軌迹動態圖達到同時且一致動態平衡,使我們理解周期運動、概周期運動和混沌運動更加直觀、形象。見圖1。
　　相軌迹動態圖可以非常直觀地反映極限環存在性以及相軌迹由裏往外或由外向裏盤旋並趨向於極限環；可以非常直觀地反映相軌迹自相交叉、相軌迹如何運動等實際情況。

4 混沌狀態時非線性項參數β對系統輸出的影響

　　在文獻[7]中研究了系統(1)在μ=5,α=1,β=0(即van der Pol振子),b=5和ω=2.466已知爲混沌運動的情形中,增加立方項βx³時考察對混沌狀態産生的影響。這個問題對許多實際問題有重要價值,因爲涉及到立方非線性恢復力αx+βx³的情形。對於弱非線性(β較小)的情形,人們通常採用線性化方法,略去非線性項βx³。研究結果表明,即使β值很小,非線性項βx³對此系統的狀態仍有顯著的影響。當考慮到非線性項βx³時,人們可能希望非線性能加強混沌狀態。然而,卻發現具有小的立方項(例如β=0.0128)混沌狀態消失了,此時系統呈現周期運動。即對於較小的β值也存在具有周期吸引子的窗^[5]。結果表明,當在實驗中可能存在混沌狀態時,不能應用對βx³的線性化,因爲它能改變解的性質,這是由於“阻尼項”是非線性的。

圖2 β變化Poincaré映射圖	圖3 β=4.360時系統回應

　　我們在此研究了系統(1)在μ=5,α=1,β=0(即van der Pol振子),b=5和ω=2.466已知爲混沌運動的情形中,增加立方項βx³時考察對混沌狀態産生的影響。結果表明,當β∊[3,4.360]時,Poincaré映射爲周期1吸引子,此時,系統呈現周期運動。見圖2、3(β=4.360)。當β∊[4.361,5]時,Poincaré映射有不變環面吸引子和奇怪吸引子,此時,系統呈現准周期運動或混沌運動。見圖1(β=4.361)。這裏,β有0.001的變化,系統就從周期運動進入混沌運動。結果還表明,在β=4.361,當t在0～10,230～240,455～465,690～700時,系統振幅變化明顯,相軌迹開始離開原來的周期軌道,出現往外擴張,然後又回到原來的周期軌道。見圖1(β=4.361)。這種現象在工程中值得研究。

5 結論

　　通過建立圖形用戶介面視覺化分析模型,我們可以全面地研究參數以及初始條件等對非線性振動系統的各種力學特性的綜合。圖形用戶介面視覺化分析模型克服了單純理論分析過於抽象和(線性化方法産生)近似誤差過大的不足,解決了參數變動需要改動程式以及輸出存在資訊失真、缺少直觀形象等許多問題,方便了分析非線性振動系統的運動規律。因此,該圖形用戶介面視覺化分析模型對複雜的非線性動力學系統提供的理論資料和圖像資訊及其結論,對指導系統理論研究和工程應用具有重要價值。

參考文獻：
[1] Holmes P,Rand D. Phase Portraits and bifurcations of the non-linear oscillator: [J]. int J Nonlinear Meckanics,1980,15(4):449～458.
[2] Maree GJM. Slow passage through a pitchfork bifurcation[J]. SIAM Appl Math,1996,56(3):889～918.
[3] 化存才,陸啓韶.一類時變分岔問題與Duffing-van der Pol振子[J].力學與實踐,2001,23(1):24～26.
[4] 楮亦清,李翠英. 非線性振動分析[M].北京：北京理工大學出版社,1996,256～270.
[5] 張志星. MATLAB程式設計與應用[M].北京：清華大學出版社,2002,360～374.
[6] Kapitaniak T. Chaotic oscillations in mechanical systems[M]. New York:Manchester Univ Press,1991,22～56.